阅读:0       作者:严长生

二分查找法(折半查找法)及C语言实现

折半查找,也称二分查找,在某些情况下相比于顺序查找,使用折半查找算法的效率更高。但是该算法的使用的前提是静态查找表中的数据必须是有序的

例如,在{5,21,13,19,37,75,56,64,88 ,80,92}这个查找表使用折半查找算法查找数据之前,需要首先对该表中的数据按照所查的关键字进行排序:{5,13,19,21,37,56,64,75,80,88,92}

在折半查找之前对查找表按照所查的关键字进行排序的意思是:若查找表中存储的数据元素含有多个关键字时,使用哪种关键字做折半查找,就需要提前以该关键字对所有数据进行排序。

折半查找算法

对静态查找表{5,13,19,21,37,56,64,75,80,88,92}采用折半查找算法查找关键字为 21 的过程为:


图 1 折半查找的过程(a)

如上图 1 所示,指针 low 和 high 分别指向查找表的第一个关键字和最后一个关键字,指针 mid 指向处于 low 和 high 指针中间位置的关键字。在查找的过程中每次都同 mid 指向的关键字进行比较,由于整个表中的数据是有序的,因此在比较之后就可以知道要查找的关键字的大致位置。

例如在查找关键字 21 时,首先同 56 作比较,由于21 < 56,而且这个查找表是按照升序进行排序的,所以可以判定如果静态查找表中有 21 这个关键字,就一定存在于 low 和 mid 指向的区域中间。

因此,再次遍历时需要更新 high 指针和 mid 指针的位置,令 high 指针移动到 mid 指针的左侧一个位置上,同时令 mid 重新指向 low 指针和 high 指针的中间位置。如图 2 所示:


图 2 折半查找的过程(b)
 
同样,用 21 同 mid 指针指向的 19 作比较,19 < 21,所以可以判定 21 如果存在,肯定处于 mid 和 high 指向的区域中。所以令 low 指向 mid 右侧一个位置上,同时更新 mid 的位置。



图 3 折半查找的过程(3)
当第三次做判断时,发现 mid 就是关键字 21 ,查找结束。

注意:在做查找的过程中,如果 low 指针和 high 指针的中间位置在计算时位于两个关键字中间,即求得 mid 的位置不是整数,需要统一做取整操作。

折半查找的实现代码:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define keyType int
typedef struct {
    keyType key;//查找表中每个数据元素的值
    //如果需要,还可以添加其他属性
}ElemType;

typedef struct{
    ElemType *elem;//存放查找表中数据元素的数组
    int length;//记录查找表中数据的总数量
}SSTable;
//创建查找表
void Create(SSTable **st,int length){
    (*st)=(SSTable*)malloc(sizeof(SSTable));
    (*st)->length=length;
    printf("输入表中的数据元素:\n");
    //根据查找表中数据元素的总长度,在存储时,从数组下标为 1 的空间开始存储数据
    for (int i=1; i<=length; i++) {
        scanf("%d",&((*st)->elem[i].key));
    }
}
//折半查找算法
int Search_Bin(SSTable *ST,keyType key){
    int low=1;//初始状态 low 指针指向第一个关键字
    int high=ST->length;//high 指向最后一个关键字
    int mid;
    while (low<=high) {
        mid=(low+high)/2;//int 本身为整形,所以,mid 每次为取整的整数
        if (ST->elem[mid].key==key)//如果 mid 指向的同要查找的相等,返回 mid 所指向的位置
        {
            return mid;
        }else if(ST->elem[mid].key>key)//如果mid指向的关键字较大,则更新 high 指针的位置
        {
            high=mid-1;
        }
        //反之,则更新 low 指针的位置
        else{
            low=mid+1;
        }
    }
    return 0;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    SSTable *st;
    Create(&st, 11);
    getchar();
    printf("请输入查找数据的关键字:\n");
    int key;
    scanf("%d",&key);
    int location=Search_Bin(st, key);
    //如果返回值为 0,则证明查找表中未查到 key 值,
    if (location==0) {
        printf("查找表中无该元素");
    }else{
        printf("数据在查找表中的位置为:%d",location);
    }
    return 0;
}
以图 1 的查找表为例,运行结果为:
输入表中的数据元素:
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
请输入查找数据的关键字:
21
数据在查找表中的位置为:4

折半查找的性能分析

折半查找的运行过程可以用二叉树来描述,这棵树通常称为“判定树”。例如图 1 中的静态查找表中做折半查找的过程,对应的判定树如图 4:

图 4 折半查找对应的判定树

在判定树中可以看到,如果想在查找表中查找 21 的位置,只需要进行 3 次比较,依次和 56、19、21 进行比较,而比较的次数恰好是该关键字所在判定树中的层次(关键字 21 在判定树中的第 3 层)。

对于具有 n 个结点(查找表中含有 n 个关键字)的判定树,它的层次数至多为:log2n + 1(如果结果不是整数,则做取整操作,例如: log211 +1 = 3 + 1 = 4 )。

同时,在查找表中各个关键字被查找概率相同的情况下,折半查找的平均查找长度为:ASL = log2(n+1) – 1

总结

通过比较折半查找的平均查找长度,同前面介绍的顺序查找相对比,明显折半查找的效率要高。但是折半查找算法只适用于有序表,同时仅限于查找表用顺序存储结构表示。
当查找表使用链式存储结构表示时,折半查找算法无法有效地进行比较操作(排序和查找操作的实现都异常繁琐)。