阅读:0       作者:严长生

深度优先生成树和广度优先生成树

本章的第一节中,介绍了有关生成树和生成森林的有关知识,本节来解决对于给定的无向图,如何构建它们相对应的生成树或者生成森林。

其实在对无向图进行遍历的时候,遍历过程中所经历过的图中的顶点和边的组合,就是图的生成树或者生成森林。

图 1 无向图
 
例如,图 1 中的无向图是由 V1~V7 的顶点和编号分别为 a~i 的边组成。当使用深度优先搜索算法时,假设 V1 作为遍历的起始点,涉及到的顶点和边的遍历顺序为(不唯一):


此种遍历顺序构建的生成树为:


图 2 深度优先生成树

由深度优先搜索得到的树为深度优先生成树。同理,广度优先搜索生成的树为广度优先生成树,图 1 无向图以顶点 V1 为起始点进行广度优先搜索遍历得到的树,如图 3 所示:

图 3 广度优先生成树

非连通图的生成森林

非连通图在进行遍历时,实则是对非连通图中每个连通分量分别进行遍历,在遍历过程经过的每个顶点和边,就构成了每个连通分量的生成树。

非连通图中,多个连通分量构成的多个生成树为非连通图的生成森林。

深度优先生成森林


图 4 深度优先生成森林

例如,对图 4 中的非连通图 (a) 采用深度优先搜索算法遍历时,得到的深度优先生成森林(由 3 个深度优先生成树构成)如 (b) 所示(不唯一)。

非连通图在遍历生成森林时,可以采用孩子兄弟表示法将森林转化为一整棵二叉树进行存储。


具体实现的代码:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VERtEX_NUM 20                   //顶点的最大个数
#define VRType int                          //表示顶点之间的关系的变量类型
#define VertexType int                     //图中顶点的数据类型
typedef enum{false,true}bool;               //定义bool型常量
bool visited[MAX_VERtEX_NUM];               //设置全局数组,记录标记顶点是否被访问过

typedef struct {
    VRType adj;                             //对于无权图,用 1 或 0 表示是否相邻;对于带权图,直接为权值。
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];

typedef struct {
    VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM];        //存储图中顶点数据
    AdjMatrix arcs;                         //二维数组,记录顶点之间的关系
    int vexnum,arcnum;                      //记录图的顶点数和弧(边)数
}MGraph;
//孩子兄弟表示法的链表结点结构
typedef struct CSNode{
    VertexType data;
    struct CSNode * lchild;//孩子结点
    struct CSNode * nextsibling;//兄弟结点
}*CSTree,CSNode;
//根据顶点本身数据,判断出顶点在二维数组中的位置
int LocateVex(MGraph G,VertexType v){
    int i=0;
    //遍历一维数组,找到变量v
    for (; i<G.vexnum; i++) {
        if (G.vexs[i]==v) {
            break;
        }
    }
    //如果找不到,输出提示语句,返回-1
    if (i>G.vexnum) {
        printf("no such vertex.\n");
        return -1;
    }
    return i;
}
//构造无向图
void CreateDN(MGraph *G){
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    getchar();
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
        }
    }
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2;
        scanf("%d,%d",&v1,&v2);
        int n=LocateVex(*G, v1);
        int m=LocateVex(*G, v2);
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        G->arcs[n][m].adj=1;
        G->arcs[m][n].adj=1;//无向图的二阶矩阵沿主对角线对称
    }
}
int FirstAdjVex(MGraph G,int v)
{
    //查找与数组下标为v的顶点之间有边的顶点,返回它在数组中的下标
    for(int i = 0; i<G.vexnum; i++){
        if( G.arcs[v][i].adj ){
            return i;
        }
    }
    return -1;
}
int NextAdjVex(MGraph G,int v,int w)
{
    //从前一个访问位置w的下一个位置开始,查找之间有边的顶点
    for(int i = w+1; i<G.vexnum; i++){
        if(G.arcs[v][i].adj){
            return i;
        }
    }
    return -1;
}
void DFSTree(MGraph G,int v,CSTree*T){
    //将正在访问的该顶点的标志位设为true
    visited[v]=true;
    bool first=true;
    CSTree q=NULL;
    //依次遍历该顶点的所有邻接点
    for (int w=FirstAdjVex(G, v); w>=0; w=NextAdjVex(G, v, w)) {
        //如果该临界点标志位为false,说明还未访问
        if (!visited[w]) {
            //为该邻接点初始化为结点
            CSTree p=(CSTree)malloc(sizeof(CSNode));
            p->data=G.vexs[w];
            p->lchild=NULL;
            p->nextsibling=NULL;
            //该结点的第一个邻接点作为孩子结点,其它邻接点作为孩子结点的兄弟结点
            if (first) {
                (*T)->lchild=p;
                first=false;
            }
            //否则,为兄弟结点
            else{
                q->nextsibling=p;
            }
            q=p;
            //以当前访问的顶点为树根,继续访问其邻接点
            DFSTree(G, w, &q);
        }
    }
}
//深度优先搜索生成森林并转化为二叉树
void DFSForest(MGraph G,CSTree *T){
    (*T)=NULL;
    //每个顶点的标记为初始化为false
    for (int v=0; v<G.vexnum; v++) {
        visited[v]=false;
    }
    CSTree q=NULL;
    //遍历每个顶点作为初始点,建立深度优先生成树
    for (int v=0; v<G.vexnum; v++) {
        //如果该顶点的标记位为false,证明未访问过
        if (!(visited[v])) {
            //新建一个结点,表示该顶点
            CSTree p=(CSTree)malloc(sizeof(CSNode));
            p->data=G.vexs[v];
            p->lchild=NULL;
            p->nextsibling=NULL;
            //如果树未空,则该顶点作为树的树根
            if (!(*T)) {
                (*T)=p;
           
            }
            //该顶点作为树根的兄弟结点
            else{
                q->nextsibling=p;
            }
            //每次都要把q指针指向新的结点,为下次添加结点做铺垫
            q=p;
            //以该结点为起始点,构建深度优先生成树
            DFSTree(G,v,&p);
        }
    }
}
//前序遍历二叉树
void PreOrderTraverse(CSTree T){
    if (T) {
        printf("%d ",T->data);
        PreOrderTraverse(T->lchild);
        PreOrderTraverse(T->nextsibling);
    }
    return;
}
int main() {
    MGraph G;//建立一个图的变量
    CreateDN(&G);//初始化图
    CSTree T;
    DFSForest(G, &T);
    PreOrderTraverse(T);
    return 0;
}
运行程序,拿图 4(a)中的非连通图为例,构建的深度优先生成森林,使用孩子兄弟表示法表示为:

图5 孩子兄弟表示法表示深度优先生成森林

图中,3 种颜色的树各代表一棵深度优先生成树,使用孩子兄弟表示法表示,也就是将三棵树的树根相连,第一棵树的树根作为整棵树的树根。


运行结果
13,13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1,2
1,3
1,6
1,12
2,13
4,5
7,8
7,10
7,9
8,10
11,12
11,13
12,13
1 2 13 11 12 3 6 4 5 7 8 10 9

广度优先生成森林

非连通图采用广度优先搜索算法进行遍历时,经过的顶点以及边的集合为该图的广度优先生成森林。

拿图 4(a)中的非连通图为例,通过广度优先搜索得到的广度优先生成森林用孩子兄弟表示法为:

图6 广度优先生成森林(孩子兄弟表示法)

实现代码为:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VERtEX_NUM 20                   //顶点的最大个数
#define VRType int                          //表示顶点之间的关系的变量类型
#define InfoType char                       //存储弧或者边额外信息的指针变量类型
#define VertexType int                      //图中顶点的数据类型
typedef enum{false,true}bool;               //定义bool型常量
bool visited[MAX_VERtEX_NUM];               //设置全局数组,记录标记顶点是否被访问过
typedef struct {
    VRType adj;                             //对于无权图,用 1 或 0 表示是否相邻;对于带权图,直接为权值。
    InfoType * info;                        //弧或边额外含有的信息指针
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];

typedef struct {
    VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM];        //存储图中顶点数据
    AdjMatrix arcs;                         //二维数组,记录顶点之间的关系
    int vexnum,arcnum;                      //记录图的顶点数和弧(边)数
}MGraph;

typedef struct CSNode{
    VertexType data;
    struct CSNode * lchild;//孩子结点
    struct CSNode * nextsibling;//兄弟结点
}*CSTree,CSNode;

typedef struct Queue{
    CSTree data;//队列中存放的为树结点
    struct Queue * next;
}Queue;

//根据顶点本身数据,判断出顶点在二维数组中的位置
int LocateVex(MGraph * G,VertexType v){
    int i=0;
    //遍历一维数组,找到变量v
    for (; i<G->vexnum; i++) {
        if (G->vexs[i]==v) {
            break;
        }
    }
    //如果找不到,输出提示语句,返回-1
    if (i>G->vexnum) {
        printf("no such vertex.\n");
        return -1;
    }
    return i;
}
//构造无向图
void CreateDN(MGraph *G){
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2;
        scanf("%d,%d",&v1,&v2);
        int n=LocateVex(G, v1);
        int m=LocateVex(G, v2);
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        G->arcs[n][m].adj=1;
        G->arcs[m][n].adj=1;//无向图的二阶矩阵沿主对角线对称
    }
}

int FirstAdjVex(MGraph G,int v)
{
    //查找与数组下标为v的顶点之间有边的顶点,返回它在数组中的下标
    for(int i = 0; i<G.vexnum; i++){
        if( G.arcs[v][i].adj ){
            return i;
        }
    }
    return -1;
}
int NextAdjVex(MGraph G,int v,int w)
{
    //从前一个访问位置w的下一个位置开始,查找之间有边的顶点
    for(int i = w+1; i<G.vexnum; i++){
        if(G.arcs[v][i].adj){
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

//初始化队列
void InitQueue(Queue ** Q){
    (*Q)=(Queue*)malloc(sizeof(Queue));
    (*Q)->next=NULL;
}
//结点v进队列
void EnQueue(Queue **Q,CSTree T){
    Queue * element=(Queue*)malloc(sizeof(Queue));
    element->data=T;
    element->next=NULL;
   
    Queue * temp=(*Q);
    while (temp->next!=NULL) {
        temp=temp->next;
    }
    temp->next=element;
}
//队头元素出队列
void DeQueue(Queue **Q,CSTree *u){
    (*u)=(*Q)->next->data;
    (*Q)->next=(*Q)->next->next;
}
//判断队列是否为空
bool QueueEmpty(Queue *Q){
    if (Q->next==NULL) {
        return true;
    }
    return false;
}

void BFSTree(MGraph G,int v,CSTree*T){
    CSTree q=NULL;
    Queue * Q;
    InitQueue(&Q);
    //根结点入队
    EnQueue(&Q, (*T));
    //当队列为空时,证明遍历完成
    while (!QueueEmpty(Q)) {
        bool first=true;
        //队列首个结点出队
        DeQueue(&Q,&q);
        //判断结点中的数据在数组中的具体位置
        int v=LocateVex(&G,q->data);
        //已经访问过的更改其标志位
        visited[v]=true;
        //遍历以出队结点为起始点的所有邻接点
        for (int w=FirstAdjVex(G,v); w>=0; w=NextAdjVex(G,v, w)) {
            //标志位为false,证明未遍历过
            if (!visited[w]) {
                //新建一个结点 p,存放当前遍历的顶点
                CSTree p=(CSTree)malloc(sizeof(CSNode));
                p->data=G.vexs[w];
                p->lchild=NULL;
                p->nextsibling=NULL;
                //当前结点入队
                EnQueue(&Q, p);
                //更改标志位
                visited[w]=true;
                //如果是出队顶点的第一个邻接点,设置p结点为其左孩子
                if (first) {
                    q->lchild=p;
                    first=false;
                }
                //否则设置其为兄弟结点
                else{
                    q->nextsibling=p;
                }
                q=p;
            }
        }
    }
}
//广度优先搜索生成森林并转化为二叉树
void BFSForest(MGraph G,CSTree *T){
    (*T)=NULL;
    //每个顶点的标记为初始化为false
    for (int v=0; v<G.vexnum; v++) {
        visited[v]=false;
    }
    CSTree q=NULL;
    //遍历图中所有的顶点
    for (int v=0; v<G.vexnum; v++) {
        //如果该顶点的标记位为false,证明未访问过
        if (!(visited[v])) {
            //新建一个结点,表示该顶点
            CSTree p=(CSTree)malloc(sizeof(CSNode));
            p->data=G.vexs[v];
            p->lchild=NULL;
            p->nextsibling=NULL;
            //如果树未空,则该顶点作为树的树根
            if (!(*T)) {
                (*T)=p;
            }
            //该顶点作为树根的兄弟结点
            else{
                q->nextsibling=p;
            }
            //每次都要把q指针指向新的结点,为下次添加结点做铺垫
            q=p;
            //以该结点为起始点,构建广度优先生成树
            BFSTree(G,v,&p);
        }
    }
}
//前序遍历二叉树
void PreOrderTraverse(CSTree T){
    if (T) {
        printf("%d ",T->data);
        PreOrderTraverse(T->lchild);
        PreOrderTraverse(T->nextsibling);
    }
    return;
}
int main() {
    MGraph G;//建立一个图的变量
    CreateDN(&G);//初始化图
    CSTree T;
    BFSForest(G, &T);
    PreOrderTraverse(T);
    return 0;
}
运行结果为:
13,13
1
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7,8
7,10
7,9
8,10
11,12
11,13
12,13
1 2 13 3 6 12 11 4 5 7 8 9 10