阅读:0       作者:严长生

图的存储结构(数组表示法)及C语言实现

使用图结构表示的数据元素之间虽然具有“多对多”的关系,但是同样可以采用顺序存储,也就是使用数组有效地存储图。

数组表示法

使用数组存储图时,需要使用两个数组,一个数组存放图中顶点本身的数据(一维数组),另外一个数组用于存储各顶点之间的关系(二维数组)。

存储图中各顶点本身数据,使用一维数组就足够了;存储顶点之间的关系时,要记录每个顶点和其它所有顶点之间的关系,所以需要使用二维数组。

不同类型的图,存储的方式略有不同,根据图有无权,可以将图划分为两大类:

图,包括无向图和有向图;网,是指带权的图,包括无向网和有向网。存储方式的不同,指的是:在使用二维数组存储图中顶点之间的关系时,如果顶点之间存在边或弧,在相应位置用 1 表示,反之用 0 表示;如果使用二维数组存储网中顶点之间的关系,顶点之间如果有边或者弧的存在,在数组的相应位置存储其权值;反之用 0 表示。


结构代码表示:
#define MAX_VERtEX_NUM 20                   //顶点的最大个数
#define VRType int                          //表示顶点之间的关系的变量类型
#define InfoType char                       //存储弧或者边额外信息的指针变量类型
#define VertexType int                      //图中顶点的数据类型
typedef enum{DG,DN,UDG,UDN}GraphKind;       //枚举图的 4 种类型
typedef struct {
    VRType adj;                             //对于无权图,用 1 或 0 表示是否相邻;对于带权图,直接为权值。
    InfoType * info;                        //弧或边额外含有的信息指针
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];

typedef struct {
    VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM];        //存储图中顶点数据
    AdjMatrix arcs;                         //二维数组,记录顶点之间的关系
    int vexnum,arcnum;                      //记录图的顶点数和弧(边)数
    GraphKind kind;                         //记录图的种类
}MGraph;

图1 有向图和无向图

例如,存储图 1 中的无向图(B)时,除了存储图中各顶点本身具有的数据外,还需要使用二维数组存储任意两个顶点之间的关系。

由于 (B) 为无向图,各顶点没有权值,所以如果两顶点之间有关联,相应位置记为 1 ;反之记为 0 。构建的二维数组如图 2 所示。

图2 无向图对应的二维数组arcs

在此二维数组中,每一行代表一个顶点,依次从 V1 到 V5 ,每一列也是如此。比如 arcs[0][1] = 1 ,表示 V1 和 V2 之间有边存在;而 arcs[0][2] = 0,说明 V1 和 V3 之间没有边。

对于无向图来说,二维数组构建的二阶矩阵,实际上是对称矩阵,在存储时就可以采用压缩存储的方式存储下三角或者上三角。

通过二阶矩阵,可以直观地判断出各个顶点的度,为该行(或该列)非 0 值的和。例如,第一行有两个 1,说明 V1 有两个边,所以度为 2。

存储图 1 中的有向图(A)时,对应的二维数组如图 3 所示:

图 3 有向图对应的二维数组arcs

例如,arcs[0][1] = 1 ,证明从 V1 到 V2 有弧存在。且通过二阶矩阵,可以很轻松得知各顶点的出度和入度,出度为该行非 0 值的和,入度为该列非 0 值的和。例如,V1 的出度为第一行两个 1 的和,为 2 ; V1 的入度为第一列中 1 的和,为 1 。所以 V1 的出度为 2 ,入度为 1 ,度为两者的和 3 。

具体实现代码

#include <stdio.h>
#define MAX_VERtEX_NUM 20                   //顶点的最大个数
#define VRType int                          //表示顶点之间的关系的变量类型
#define InfoType char                       //存储弧或者边额外信息的指针变量类型
#define VertexType int                      //图中顶点的数据类型
typedef enum{DG,DN,UDG,UDN}GraphKind;       //枚举图的 4 种类型
typedef struct {
    VRType adj;                             //对于无权图,用 1 或 0 表示是否相邻;对于带权图,直接为权值。
    InfoType * info;                        //弧或边额外含有的信息指针
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];

typedef struct {
    VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM];        //存储图中顶点数据
    AdjMatrix arcs;                         //二维数组,记录顶点之间的关系
    int vexnum,arcnum;                      //记录图的顶点数和弧(边)数
    GraphKind kind;                         //记录图的种类
}MGraph;
//根据顶点本身数据,判断出顶点在二维数组中的位置
int LocateVex(MGraph * G,VertexType v){
    int i=0;
    //遍历一维数组,找到变量v
    for (; i<G->vexnum; i++) {
        if (G->vexs[i]==v) {
            break;
        }
    }
    //如果找不到,输出提示语句,返回-1
    if (i>G->vexnum) {
        printf("no such vertex.\n");
        return -1;
    }
    return i;
}
//构造有向图
void CreateDG(MGraph *G){
    //输入图含有的顶点数和弧的个数
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    //依次输入顶点本身的数据
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    //初始化二维矩阵,全部归0,指针指向NULL
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    //在二维数组中添加弧的数据
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2;
        //输入弧头和弧尾
        scanf("%d,%d",&v1,&v2);
        //确定顶点位置
        int n=LocateVex(G, v1);
        int m=LocateVex(G, v2);
        //排除错误数据
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        //将正确的弧的数据加入二维数组
        G->arcs[n][m].adj=1;
    }
}
//构造无向图
void CreateDN(MGraph *G){
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2;
        scanf("%d,%d",&v1,&v2);
        int n=LocateVex(G, v1);
        int m=LocateVex(G, v2);
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        G->arcs[n][m].adj=1;
        G->arcs[m][n].adj=1;//无向图的二阶矩阵沿主对角线对称
    }
}
//构造有向网,和有向图不同的是二阶矩阵中存储的是权值。
void CreateUDG(MGraph *G){
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2,w;
        scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&w);
        int n=LocateVex(G, v1);
        int m=LocateVex(G, v2);
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        G->arcs[n][m].adj=w;
    }
}
//构造无向网。和无向图唯一的区别就是二阶矩阵中存储的是权值
void CreateUDN(MGraph* G){
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2,w;
        scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&w);
        int m=LocateVex(G, v1);
        int n=LocateVex(G, v2);
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        G->arcs[n][m].adj=w;
        G->arcs[m][n].adj=w;//矩阵对称
    }
}
void CreateGraph(MGraph *G){
    //选择图的类型
    scanf("%d",&(G->kind));
    //根据所选类型,调用不同的函数实现构造图的功能
    switch (G->kind) {
        case DG:
            return CreateDG(G);
            break;
        case DN:
            return CreateDN(G);
            break;
        case UDG:
            return CreateUDG(G);
            break;
        case UDN:
            return CreateUDN(G);
            break;
        default:
            break;
    }
}
//输出函数
void PrintGrapth(MGraph G)
{
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            printf("%d ", G.arcs[i][j].adj);
        }
        printf("\n");
    }
}
int main() {
    MGraph G;//建立一个图的变量
    CreateGraph(&G);//调用创建函数,传入地址参数
    PrintGrapth(G);//输出图的二阶矩阵
    return 0;
}

注意:在此程序中,构建无向网和有向网时,对于之间没有边或弧的顶点,相应的二阶矩阵中存放的是 0。目的只是为了方便查看运行结果,而实际上如果顶点之间没有关联,它们之间的距离应该是无穷大(∞)。


例如,使用上述程序存储图 4(a)的有向网时,存储的两个数组如图 4(b)所示:

图 4 有向网

相应地运行结果为:
2
6,10
1
2
3
4
5
6
1,2,5
2,3,4
3,1,8
1,4,7
4,3,5
3,6,9
6,1,3
4,6,6
6,5,1
5,4,5
0 5 0 7 0 0
0 0 4 0 0 0
8 0 0 0 0 9
0 0 5 0 0 6
0 0 0 5 0 0
3 0 0 0 1 0

总结

本节主要详细介绍了使用数组存储图的方法,在实际操作中使用更多的是链式存储结构,例如邻接表、十字链表和邻接多重表,这三种存储图的方式放在下一节重点去讲。