阅读:0       作者:严长生

回溯法(八皇后问题)及C语言实现

回溯法,又被称为“试探法”。解决问题时,每进行一步,都是抱着试试看的态度,如果发现当前选择并不是最好的,或者这么走下去肯定达不到目标,立刻做回退操作重新选择。这种走不通就回退再走的方法就是回溯法。

例如,在解决列举集合 {1,2,3} 中所有子集的问题中,就可以使用回溯法。从集合的开头元素开始,对每个元素都有两种选择:取还是舍。当确定了一个元素的取舍之后,再进行下一个元素,直到集合最后一个元素。其中的每个操作都可以看作是一次尝试,每次尝试都可以得出一个结果。将得到的结果综合起来,就是集合的所有子集。

实现代码为:
#include <stdio.h>
//设置一个数组,数组的下标表示集合中的元素,所以数组只用下标为1,2,3的空间
int set[5];
//i代表数组下标,n表示集合中最大的元素值
void PowerSet(int i,int n){
    //当i>n时,说明集合中所有的元素都做了选择,开始判断
    if (i>n) {
        for (int j=1; j<=n; j++) {
            //如果树组中存放的是 1,说明在当初尝试时,选择取该元素,即对应的数组下标,所以,可以输出
            if (set[j]==1) {
                printf("%d ",j);
            }
        }
        printf("\n");
    }else{
        //如果选择要该元素,对应的数组单元中赋值为1;反之,赋值为0。然后继续向下探索
        set[i]=1;PowerSet(i+1, n);
        set[i]=0;PowerSet(i+1, n);
    }
}
int main() {
    int n=3;
    for (int i=0; i<5; i++) {
        set[i]=0;
    }
    PowerSet(1, n);
    return 0;
}
运行结果:
1 2 3
1 2
1 3
1
2 3
2
3

回溯VS递归

很多人认为回溯和递归是一样的,其实不然。在回溯法中可以看到有递归的身影,但是两者是有区别的。

回溯法从问题本身出发,寻找可能实现的所有情况。和穷举法的思想相近,不同在于穷举法是将所有的情况都列举出来以后再一一筛选,而回溯法在列举过程如果发现当前情况根本不可能存在,就停止后续的所有工作,返回上一步进行新的尝试。

递归是从问题的结果出发,例如求 n!,要想知道 n!的结果,就需要知道 n*(n-1)! 的结果,而要想知道 (n-1)! 结果,就需要提前知道 (n-1)*(n-2)!。这样不断地向自己提问,不断地调用自己的思想就是递归。

回溯和递归唯一的联系就是,回溯法可以用递归思想实现。

回溯法与树的遍历

使用回溯法解决问题的过程,实际上是建立一棵“状态树”的过程。例如,在解决列举集合{1,2,3}所有子集的问题中,对于每个元素,都有两种状态,取还是舍,所以构建的状态树为:

图1 状态树

回溯法的求解过程实质上是先序遍历“状态树”的过程。树中每一个叶子结点,都有可能是问题的答案。图 1 中的状态树是满二叉树,得到的叶子结点全部都是问题的解。

在某些情况下,回溯法解决问题的过程中创建的状态树并不都是满二叉树,因为在试探的过程中,有时会发现此种情况下,再往下进行没有意义,所以会放弃这条死路,回溯到上一步。在树中的体现,就是在树的最后一层不是满的,即不是满二叉树,需要自己判断哪些叶子结点代表的是正确的结果。

回溯法解决八皇后问题

八皇后问题是以国际象棋为背景的问题:有八个皇后(可以当成八个棋子),如何在 8*8 的棋盘中放置八个皇后,使得任意两个皇后都不在同一条横线、纵线或者斜线上。

图 2 八皇后问题示例(#代表皇后)

八皇后问题是使用回溯法解决的典型案例。算法的解决思路是:
  1. 从棋盘的第一行开始,从第一个位置开始,依次判断当前位置是否能够放置皇后,判断的依据为:同该行之前的所有行中皇后的所在位置进行比较,如果在同一列,或者在同一条斜线上(斜线有两条,为正方形的两个对角线),都不符合要求,继续检验后序的位置。
  2. 如果该行所有位置都不符合要求,则回溯到前一行,改变皇后的位置,继续试探。
  3. 如果试探到最后一行,所有皇后摆放完毕,则直接打印出 8*8 的棋盘。最后一定要记得将棋盘恢复原样,避免影响下一次摆放。

实现代码:
#include <stdio.h>
int Queenes[8]={0},Counts=0;
int Check(int line,int list){
    //遍历该行之前的所有行
    for (int index=0; index<line; index++) {
        //挨个取出前面行中皇后所在位置的列坐标
        int data=Queenes[index];
        //如果在同一列,该位置不能放
        if (list==data) {
            return 0;
        }
        //如果当前位置的斜上方有皇后,在一条斜线上,也不行
        if ((index+data)==(line+list)) {
            return 0;
        }
        //如果当前位置的斜下方有皇后,在一条斜线上,也不行
        if ((index-data)==(line-list)) {
            return 0;
        }
    }
    //如果以上情况都不是,当前位置就可以放皇后
    return 1;
}
//输出语句
void print()
{
    for (int line = 0; line < 8; line++)
    {
        int list;
        for (list = 0; list < Queenes[line]; list++)
            printf("0");
        printf("#");
        for (list = Queenes[line] + 1; list < 8; list++){
            printf("0");
        }
        printf("\n");
    }
    printf("================\n");
}

void eight_queen(int line){
    //在数组中为0-7列
    for (int list=0; list<8; list++) {
        //对于固定的行列,检查是否和之前的皇后位置冲突
        if (Check(line, list)) {
            //不冲突,以行为下标的数组位置记录列数
            Queenes[line]=list;
            //如果最后一样也不冲突,证明为一个正确的摆法
            if (line==7) {
                //统计摆法的Counts加1
                Counts++;
                //输出这个摆法
                print();
                //每次成功,都要将数组重归为0
                Queenes[line]=0;
                return;
            }
            //继续判断下一样皇后的摆法,递归
            eight_queen(line+1);
            //不管成功失败,该位置都要重新归0,以便重复使用。
            Queenes[line]=0;
        }
    }
}
int main() {
    //调用回溯函数,参数0表示从棋盘的第一行开始判断
    eight_queen(0);
    printf("摆放的方式有%d种",Counts);
    return 0;
}
大家可以自己运行一下程序,查看运行结果,由于八皇后问题有92种摆法,这里不一一列举。