阅读:0       作者:严长生

数据结构中的树存储结构

之前介绍的所有的数据结构都是线性存储结构。本章所介绍的树结构是一种非线性存储结构,存储的是具有“一对多”关系的数据元素的集合。
                                                                 
       (A)                                                                        (B) 
图 1 树的示例

图 1(A) 是使用树结构存储的集合 {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M} 的示意图。对于数据 A 来说,和数据 B、C、D 有关系;对于数据 B 来说,和 E、F 有关系。这就是“一对多”的关系。

将具有“一对多”关系的集合中的数据元素按照图 1(A)的形式进行存储,整个存储形状在逻辑结构上看,类似于实际生活中倒着的树(图 1(B)倒过来),所以称这种存储结构为“树型”存储结构。

树的结点

结点:使用树结构存储的每一个数据元素都被称为“结点”。例如,图 1(A)中,数据元素 A 就是一个结点;

父结点(双亲结点)、子结点和兄弟结点:对于图 1(A)中的结点 A、B、C、D 来说,A 是 B、C、D 结点的父结点(也称为“双亲结点”),而 B、C、D 都是 A 结点的子结点(也称“孩子结点”)。对于 B、C、D 来说,它们都有相同的父结点,所以它们互为兄弟结点。

树根结点(简称“根结点”):每一个非空树都有且只有一个被称为根的结点。图 1(A)中,结点A就是整棵树的根结点。
树根的判断依据为:如果一个结点没有父结点,那么这个结点就是整棵树的根结点。
叶子结点:如果结点没有任何子结点,那么此结点称为叶子结点(叶结点)。例如图 1(A)中,结点 K、L、F、G、M、I、J 都是这棵树的叶子结点。

子树和空树

子树:如图 1(A)中,整棵树的根结点为结点 A,而如果单看结点 B、E、F、K、L 组成的部分来说,也是棵树,而且节点 B 为这棵树的根结点。所以称 B、E、F、K、L 这几个结点组成的树为整棵树的子树;同样,结点 E、K、L 构成的也是一棵子树,根结点为 E。

注意:单个结点也是一棵树,只不过根结点就是它本身。图 1(A)中,结点 K、L、F 等都是树,且都是整棵树的子树。

知道了子树的概念后,树也可以这样定义:树是由根结点和若干棵子树构成的

空树:如果集合本身为空,那么构成的树就被称为空树。空树中没有结点。
补充:在树结构中,对于具有同一个根结点的各个子树,相互之间不能有交集。例如,图 1(A)中,除了根结点 A,其余元素又各自构成了三个子树,根结点分别为 B、C、D,这三个子树相互之间没有相同的结点。如果有,就破坏了树的结构,不能算做是一棵树。

结点的度和层次

对于一个结点,拥有的子树数(结点有多少分支)称为结点的度(Degree)。例如,图 1(A)中,根结点 A 下分出了 3 个子树,所以,结点 A 的度为 3。
一棵树的度是树内各结点的度的最大值。图 1(A)表示的树中,各个结点的度的最大值为 3,所以,整棵树的度的值是 3。
结点的层次:从一棵树的树根开始,树根所在层为第一层,根的孩子结点所在的层为第二层,依次类推。对于图 1(A)来说,A 结点在第一层,B、C、D 为第二层,E、F、G、H、I、J 在第三层,K、L、M 在第四层。
一棵树的深度(高度)是树中结点所在的最大的层次。图 1(A)树的深度为 4。
如果两个结点的父结点虽不相同,但是它们的父结点处在同一层次上,那么这两个结点互为堂兄弟。例如,图 1(A)中,结点 G 和 E、F、H、I、J 的父结点都在第二层,所以之间为堂兄弟的关系。

有序树和无序树

如果树中结点的子树从左到右看,谁在左边,谁在右边,是有规定的,这棵树称为有序树;反之称为无序树
在有序树中,一个结点最左边的子树称为"第一个孩子",最右边的称为"最后一个孩子"

拿图 1(A)来说,如果是其本身是一棵有序树,则以结点 B 为根结点的子树为整棵树的第一个孩子,以结点 D 为根结点的子树为整棵树的最后一个孩子。

森林

由 m(m >= 0)个互不相交的树组成的集合被称为森林。图 1(A)中,分别以 B、C、D 为根结点的三棵子树就可以称为森林。

前面讲到,树可以理解为是由根结点和若干子树构成的,而这若干子树本身是一个森林,所以,树还可以理解为是由根结点和森林组成的。用一个式子表示为:
Tree =(root,F)
其中,root 表示树的根结点,F 表示由 m(m >= 0)棵树组成的森林。

树的表示方法

除了图 1(A)表示树的方法外,还有其他表示方法:
 

          (A)                                         (B)
图2 树的表示形式
 
图 2(A)是以嵌套的集合的形式表示的(集合之间绝不能相交,即图中任意两个圈不能相交)

图 2(B)使用的是凹入表示法(了解即可),表示方式是:最长条为根结点,相同长度的表示在同一层次。例如 B、C、D 长度相同,都为 A 的子结点,E 和 F 长度相同,为 B 的子结点,K 和 L 长度相同,为 E 的子结点,依此类推。

最常用的表示方法是使用广义表的方式。图 1(A)用广义表表示为:
(A , ( B ( E ( K , L ) , F ) , C ( G ) , D ( H ( M ) , I , J ) ) )

总结

树型存储结构类似于家族的族谱,各个结点之间也同样可能具有父子、兄弟、表兄弟的关系。本节中,要重点理解树的根结点和子树的定义,同时要会计算树中各个结点的度和层次,以及树的深度。