阅读:0       作者:严长生

矩阵乘法(行逻辑链接的顺序表)及代码实现

矩阵相乘的前提条件是:乘号前的矩阵的列数要和乘号后的矩阵的行数相等。且矩阵的乘法运算没有交换律,即 A*B 和 B*A 是不一样的。

例如,矩阵A:


矩阵B:


由于矩阵 A 的列数和矩阵 B 的行数相等,可以进行 A*B 运算(不能进行 B*A 运算)。计算方法是:用矩阵A的第 i 行和矩阵B中的每一列 j 对应的数值做乘法运算,乘积一一相加,所得结果即为矩阵 C 中第 i 行第 j 列的值。

得到的乘积矩阵C为:
例如:C12 = 6 是因为:A11*B12 + A12*B22 + A13*B32 + A14*B42,即 3*2 + 0*0 + 0*4 + 5*0 = 6 ,因为这是 A 的第 1 行和 B 的第 2 列的乘积和,所以结果放在 C 的第 1 行第 2 列的位置。

例如,A是 m1*n1 矩阵,B是 m2*n2 矩阵(前提必须是 n1 == m2 ):
int C[MAX][MAX];
for (int i=0; i<m1;i++) {
    for (int j=0; j<n2; j++) {
        C[i][j]=0;
        for (int k=0; k<n1; k++) {
            C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];
        }
    }
}
普通算法的时间复杂度O(m1*n2*n1)

在稀疏矩阵做乘法运算时,由于本身矩阵中含有的非 0 元素少,普通算法会出现很多 0*0 或者 k*0 或者 0*k ( k 代表非 0 元素值)的情况。下面介绍使用行逻辑链接的顺序表计算矩阵乘积的方法。

行逻辑链接的顺序表解决矩阵乘积算法

对矩阵的乘积进行深度剖析,矩阵 A 和矩阵 B 相乘的运算过程是这样的:

  1. 首先,找到矩阵 A 中第一行的非 0 元素,分别是 A11 = 3和 A14 = 5;(由于行逻辑链接的顺序表中存储的都是非 0 元素,查找的过程就需要使用记录每行第一个非 0 元素的首地址的数组来完成)
  2. 用 3 去和 B 中对应的第一行中的非 0 元素相乘,矩阵 B 中第一行非 0 元素是 B12 = 2,所以 3*2 = 6 ,因为 6 是 A11 和 B12 相乘的结果,所以暂时存放在 C12 中;用 5 去和 B 中对应的第 4 行的非 0 元素相乘,由于矩阵 B 中第 4 行没有非 0 元素,所以,第一行的计算结束;
  3. 以此类推。

攻克问题难点

现在,解决问题的关键在于,如何知道顺序表中存放的非0元素是哪一行的呢?

解决方案:由于使用的是行逻辑链接的顺序表,所以,已经知道了每一个矩阵中的每一行有多少个非0元素,而且第一行的第一个非0元素的位置一定是1。

所以,第 n 行的非0元素的位置范围是:大于或等于第 n 行第一个元素的位置, 小于第 n+1 行第一个元素的位置(如果是矩阵的最后一行, 小于矩阵中非 0 元素的个数 + 1)。

具体实现代码

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 12500
#define MAXRC 100
#define      ElemType int
typedef struct
{
    int i,j;//行,列
    ElemType e;//元素值
}Triple;

typedef struct
{
    Triple  data[MAXSIZE+1];
    int rpos[MAXRC+1];//每行第一个非零元素在data数组中的位置
    int mu,nu,tu;//行数,列数,元素个数
}RLSMatrix;

RLSMatrix MultSMatrix(RLSMatrix A, RLSMatrix B, RLSMatrix C)
{
    //如果矩阵A的列数与矩阵B的行数不等,则不能做矩阵乘运算
    if(A.nu != B.mu)
        return C;
    C.mu = A.mu;
    C.nu = B.nu;
    C.tu = 0;
    //如果其中任意矩阵的元素个数为零,做乘法元素没有意义,全是0
    if(A.tu * B.tu == 0)
        return C;
    else
    {
        int arow;
        int ccol;
        //遍历矩阵A的每一行
        for(arow=1; arow<=A.mu; arow++)
        {
            //创建一个临时存储乘积结果的数组,且初始化为0,遍历每次都需要清空
            int ctemp[MAXRC+1] ={};
            C.rpos[arow] = C.tu + 1;
            //根据行数,在三元组表中找到该行所有的非0元素的位置
            int tp;
            if(arow < A.mu)
                tp = A.rpos[arow+1];//获取矩阵A的下一行第一个非零元素在data数组中位置
            else
                tp = A.tu+1;//若当前行是最后一行,则取最后一个元素+1
           
            int p;
            int brow;
            //遍历当前行的所有的非0元素
            for(p=A.rpos[arow]; p<tp; p++)
            {
                brow = A.data[p].j;//取该非0元素的列数,便于去B中找对应的做乘积的非0元素
                int t;
                // 判断如果对于A中非0元素,找到矩阵B中做乘法的那一行中的所有的非0元素
                if(brow < B.mu)
                    t = B.rpos[brow+1];
                else
                    t = B.tu+1;
                int q;
                //遍历找到的对应的非0元素,开始做乘积运算
                for(q=B.rpos[brow]; q<t; q++)
                {
                    //得到的乘积结果,每次和ctemp数组中相应位置的数值做加和运算
                    ccol = B.data[q].j;
                    ctemp[ccol] += A.data[p].e * B.data[q].e;
                }
            }
            //矩阵C的行数等于矩阵A的行数,列数等于矩阵B的列数,所以,得到的ctemp存储的结果,也会在C的列数的范围内
            for(ccol=1; ccol<=C.nu; ccol++)
            {
                //由于结果可以是0,而0不需要存储,所以在这里需要判断
                if(ctemp[ccol])
                {
                    //不为0,则记录矩阵中非0元素的个数的变量tu要+1;且该值不能超过存放三元素数组的空间大小
                    if(++C.tu > MAXSIZE)
                        return C;
                    else{
                        C.data[C.tu].e = ctemp[ccol];
                        C.data[C.tu].i = arow;
                        C.data[C.tu].j = ccol;
                    }
                }
            }
        }
        return C;
    }
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    RLSMatrix M,N,T;
   
    M.tu = 4;
    M.mu = 3;
    M.nu = 4;
   
    M.rpos[1] = 1;
    M.rpos[2] = 3;
    M.rpos[3] = 4;
   
    M.data[1].e = 3;
    M.data[1].i = 1;
    M.data[1].j = 1;
   
    M.data[2].e = 5;
    M.data[2].i = 1;
    M.data[2].j = 4;
   
    M.data[3].e = -1;
    M.data[3].i = 2;
    M.data[3].j = 2;
   
    M.data[4].e = 2;
    M.data[4].i = 3;
    M.data[4].j = 1;

    N.tu = 4;
    N.mu = 4;
    N.nu = 2;
   
    N.rpos[1] = 1;
    N.rpos[2] = 2;
    N.rpos[3] = 3;
    N.rpos[4] = 5;
   
    N.data[1].e = 2;
    N.data[1].i = 1;
    N.data[1].j = 2;
   
    N.data[2].e = 1;
    N.data[2].i = 2;
    N.data[2].j = 1;
   
    N.data[3].e = -2;
    N.data[3].i = 3;
    N.data[3].j = 1;
   
    N.data[4].e = 4;
    N.data[4].i = 3;
    N.data[4].j = 2;
   
   T= MultSMatrix(M,N,T);
    for (int i=1; i<=T.tu; i++) {
        printf("(%d,%d,%d)\n",T.data[i].i,T.data[i].j,T.data[i].e);
    }
    return 0;
   
}

输出结果:
(1,2,6)
(2,1,-1)
(3,2,4)

总结

当稀疏矩阵 Amn 和稀疏矩阵 Bnp 采用行逻辑链接的顺序表做乘法运算时,在矩阵 A 的列数(矩阵 B 的行数) n 不是很大的情况下,算法的时间复杂度相当于O(m*p),比普通算法要快很多。