阅读:0       作者:解学武

矩阵快速转置算法详解

矩阵的转置实际上就是将数据元素的行标和列标互换,即 T(i,j) = M(j,i) 。例如:

1 矩阵的转置

相应地,三元组表转变为:
图2 三元组表
 
总结矩阵的转置过程,共经历了三个步骤:
  • 矩阵的行数 n 和列数 m 的值交换;
  • 将三元组中的 i 和 j 调换;
  • 转换之后的表同样按照行序(置换前的列序)为主序,进行排序;

矩阵转置的快速转置算法和普通转置算法,区别就在于实现第 3 步的方法不同,快速转置算法在普通算法的基础上,对遍历存储的过程做了改进。下面我们对快速转置算法做详细地讲解。
想了解矩阵的普通转置算法,可查看《矩阵转置算法及代码实现(三元组顺序表)》一文。
首先将每一列中非 0 元素的个数对应地存储在一个数组(数组名为 array)中。在此基础上,计算出每一列第一个元素存放在三元组表中的位置,存储在数组(数组名为 cpot )中。
第一列第一个非 0 元素肯定存放在第一个位置,第二列第一个非 0 元素的位置 = 第一列存放的起始位置 + 第一列的非 0 元素个数,以此类推。

用图 2 中置换之前的表举例:


 

array 数组中的数据表示,第一列有一个非 0 元素,第二列中 3 个非0元素。
 


 

cpot 数组中的数据表示,第一列中第一个数据存储的位置默认是 1 ,第二列第一个非 0 元素存放的位置是 2。

计算方法是:cpot[col] = cpot[col-1] + array[col-1],即后边一列第一个非 0 元素存放的位置为前边一列第一个非 0 元素存放的位置加上该列非 0 元素的个数的和。
在以上两个数组的基础上,当遍历表 a 的 j 列时,根据每个元素 j 列的数值,就可以判断出它在表 b 中的存放位置,整个三元组表只需要遍历一次,就能实现矩阵的转置。

实现代码:
#include<stdio.h>
#define number 10
typedef struct {
    int i,j;
    int data;
}triple;
typedef struct {
    triple data[number];
    int rpos[number];
    int n,m,num;
}TSMatrix;

TSMatrix fastTransposeMatrix(TSMatrix M,TSMatrix T){
    T.m=M.n;
    T.n=M.m;
    T.num=M.num;

    if (T.num) {
        int array[number];
        for (int col=1; col<=M.m; col++) {
            array[col]=0;
        }
        for (int t=0; t<M.num; t++) {
            int j=M.data[t].j;
            array[j]++;
        }
        int cpot[T.m+1];
        cpot[1]=1;
        for (int col=2; col<=M.m; col++) {
            cpot[col]=cpot[col-1]+array[col-1];
        }
        for (int p=0; p<M.num; p++) {
            int col=M.data[p].j;
            int q=cpot[col];
            T.data[q-1].i=M.data[p].j;
            T.data[q-1].j=M.data[p].i;
            T.data[q-1].data=M.data[p].data;
            cpot[col]++;
        }
    }
    return T;
}
int main() {
    TSMatrix M;
    M.m=2;
    M.n=3;
    M.num=4;
   
    M.data[0].i=1;
    M.data[0].j=2;
    M.data[0].data=1;
   
    M.data[1].i=2;
    M.data[1].j=2;
    M.data[1].data=3;
   
    M.data[2].i=3;
    M.data[2].j=1;
    M.data[2].data=6;
   
    M.data[3].i=3;
    M.data[3].j=2;
    M.data[3].data=5;
   
    TSMatrix T;
    T=fastTransposeMatrix(M, T);
    printf("使用改进方法:\n");
    for (int i=0; i<T.num; i++) {
        printf("(%d,%d,%d)",T.data[i].i,T.data[i].j,T.data[i].data);
    }
    return 0;
}
输出结果
使用改进方法:
(1,3,6)(2,1,1)(2,2,3)(2,3,5)
这个算法中含有四个并列的单循环,时间复杂度为 O(m+num)(实际得到的是 O(2*m+2*num),当 m 和 num 足够大时,可以省略常数参数),即使最坏情况下,矩阵中的元素都是非 0 元素,时间负责度为O(m*n)。称此算法为快速转置算法