阅读:0       作者:严长生

KMP算法(快速模式匹配算法)详解以及C语言实现

通过上一节的介绍,学习了串的普通模式匹配算法,大体思路是:模式串从主串的第一个字符开始匹配,每匹配失败,主串中记录匹配进度的指针 i 都要进行 i-j+1 的回退操作(这个过程称为“指针回溯”),同时模式串向后移动一个字符的位置。一次次的循环,直到匹配成功或者程序结束。

"KMP"算法相比于"BF"算法,优势在于:
  • 在保证指针 i 不回溯的前提下,当匹配失败时,让模式串向右移动最大的距离;
  • 并且可以在O(n+m)的时间数量级上完成对串的模式匹配操作;

故,"KMP"算法称为“快速模式匹配算法”

模式串向右移动距离的计算

在模式串和主串匹配时,各有一个指针指向当前进行匹配的字符(主串中是指针 i ,模式串中是指针 j ),在保证 i 指针不回溯的前提下,如果想实现功能,就只能让 j 指针回溯。
j 指针回溯的距离,就相当于模式串向右移动的距离。 j 指针回溯的越多,说明模式串向右移动的距离越长。
计算模式串向右移动的距离,就可以转化成:当某字符匹配失败后, j 指针回溯的位置。

对于一个给定的模式串,其中每个字符都有可能会遇到匹配失败,这时对应的 j 指针都需要回溯,具体回溯的位置其实还是由模式串本身来决定的,和主串没有关系。

模式串中的每个字符所对应 j 指针回溯的位置,可以通过算法得出,得到的结果相应地存储在一个数组中(默认数组名为 next )。

计算方法是:对于模式串中的某一字符来说,提取它前面的字符串,分别从字符串的两端查看连续相同的字符串的个数,在其基础上 +1 ,结果就是该字符对应的值。
每个模式串的第一个字符对应的值为 0 ,第二个字符对应的值为 1 。
例如:求模式串 “abcabac” 的 next 。前两个字符对应的 0 和 1 是固定的。

对于字符 ‘c’ 来说,提取字符串 “ab” ,‘a’ 和 ‘b’ 不相等,相同的字符串的个数为 0 ,0 + 1 = 1 ,所以 ‘c’ 对应的 next 值为 1 ;

第四个字符 ‘a’ ,提取 “abc” ,从首先 ‘a’ 和 ‘c’ 就不相等,相同的个数为 0 ,0 + 1 = 1 ,所以,‘a’ 对应的 next 值为 1 ;

第五个字符 ‘b’ ,提取 “abca” ,第一个 ‘a’ 和最后一个 ‘a’ 相同,相同个数为 1 ,1 + 1 = 2 ,所以,‘b’ 对应的 next 值为 2 ;

第六个字符 ‘a’ ,提取 “abcab” ,前两个字符 “ab” 和最后两个 “ab” 相同,相同个数为 2 ,2 + 1 = 3 ,所以,‘a’ 对应的 next 值为 3 ;

最后一个字符 ‘c’ ,提取 “abcaba” ,第一个字符 ‘a’ 和最后一个 ‘a’ 相同,相同个数为 1 ,1 + 1 = 2 ,所以 ‘c’ 对应的 next 值为 2 ;

所以,字符串 “abcabac” 对应的 next 数组中的值为(0,1,1,1,2,3,2)。

上边求值过程中,每次都需要判断字符串头部和尾部相同字符的个数,而在编写算法实现时,对于某个字符来说,可以借用前一个字符的判断结果,计算当前字符对应的 next 值。

具体的算法如下:

模式串T为(下标从1开始):“abcabac”
next数组(下标从1开始):    01

第三个字符 ‘c’ :由于前一个字符 ‘b’ 的 next 值为 1 ,取 T[1] = ‘a’ 和 ‘b’ 相比较,不相等,继续;由于 next[1] = 0,结束。 ‘c’ 对应的 next 值为1;(只要循环到 next[1] = 0 ,该字符的 next 值都为 1 )

模式串T为:                  “abcabac”
next数组(下标从1开始):011

第四个字符 ’a‘ :由于前一个字符 ‘c’ 的 next 值为 1 ,取 T[1] = ‘a’ 和 ‘c’ 相比较,不相等,继续;由于 next[1] = 0 ,结束。‘a’ 对应的 next 值为 1 ;

模式串T为:                  “abcabac”
next数组(下标从1开始):0111

第五个字符 ’b’ :由于前一个字符 ‘a’ 的 next 值为 1 ,取 T[1] = ‘a’ 和 ‘a’ 相比较,相等,结束。 ‘b’ 对应的 next 值为:1(前一个字符 ‘a’ 的 next 值) + 1 = 2 ;

模式串T为:                  “abcabac”
next数组(下标从1开始):01112

第六个字符 ‘a’ :由于前一个字符 ‘b’ 的 next 值为 2,取 T[2] = ‘b’ 和 ‘b’ 相比较,相等,所以结束。‘a’ 对应的 next 值为:2 (前一个字符 ‘b’ 的 next 值) + 1 = 3 ;

模式串T为:                  “abcabac”
next数组(下标从1开始):011123

第七个字符 ‘c’ :由于前一个字符 ‘a’ 的 next 值为 3 ,取 T[3] = ‘c’ 和 ‘a’ 相比较,不相等,继续;由于 next[3] = 1 ,所以取 T[1] = ‘a’ 和 ‘a’ 比较,相等,结束。‘a’ 对应的 next 值为:1 ( next[3] 的值) + 1 = 2 ;

模式串T为:                  “abcabac”
next数组(下标从1开始):0111232

算法实现:
#include <stdio.h>
#include <string.h>
void Next(char*T,int *next){
    int i=1;
    next[1]=0;
    int j=0;
    while (i<strlen(T)) {
        if (j==0||T[i-1]==T[j-1]) {
            i++;
            j++;
            next[i]=j;
        }else{
            j=next[j];
        }
    }
}
注意:在此程序中,next 数组使用的下标初始值为 1 ,next[0] 没有用到(也可以存放 next 数组的长度)。而串的存储是从数组的下标 0 开始的,所以程序中为 T[i-1] 和 T[j-1]。

基于next的KMP算法的实现

先看一下 KMP 算法运行流程(假设主串:ababcabcacbab,模式串:abcac)。

第一次匹配:

匹配失败,i 指针不动,j = 1(字符‘c’的next值);

第二次匹配:

相等,继续,直到:

匹配失败,i 不动,j = 2 ( j 指向的字符 ‘c’ 的 next 值);

第三次匹配:

相等,i 和 j 后移,最终匹配成功。
使用普通算法,需要匹配 6 次;而使用 KMP 算法,则只匹配 3 次。
实现代码:
int KMP(char * S,char * T){
    int next[10];
    Next(T,next);//根据模式串T,初始化next数组
    int i=1;
    int j=1;
    while (i<=strlen(S)&&j<=strlen(T)) {
        //j==0:代表模式串的第一个字符就和指针i指向的字符不相等;S[i-1]==T[j-1],如果对应位置字符相等,两种情况下,指向当前测试的两个指针下标i和j都向后移
        if (j==0 || S[i-1]==T[j-1]) {
            i++;
            j++;
        }
        else{
            j=next[j];//如果测试的两个字符不相等,i不动,j变为当前测试字符串的next值
        }
    }
    if (j>strlen(T)) {//如果条件为真,说明匹配成功
        return i-(int)strlen(T);
    }
    return -1;
}

KMP算法完整代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
void Next(char*T,int *next){
    int i=1;
    next[1]=0;
    int j=0;
    while (i<strlen(T)) {
        if (j==0||T[i-1]==T[j-1]) {
            i++;
            j++;
            next[i]=j;
        }else{
            j=next[j];
        }
    }
}
int KMP(char * S,char * T){
    int next[10];
    Next(T,next);//根据模式串T,初始化next数组
    int i=1;
    int j=1;
    while (i<=strlen(S)&&j<=strlen(T)) {
        //j==0:代表模式串的第一个字符就和当前测试的字符不相等;S[i-1]==T[j-1],如果对应位置字符相等,两种情况下,指向当前测试的两个指针下标i和j都向后移
        if (j==0 || S[i-1]==T[j-1]) {
            i++;
            j++;
        }
        else{
            j=next[j];//如果测试的两个字符不相等,i不动,j变为当前测试字符串的next值
        }
    }
    if (j>strlen(T)) {//如果条件为真,说明匹配成功
        return i-(int)strlen(T);
    }
    return -1;
}

int main() {
    int i=KMP("ababcabcacbab","abcac");
    printf("%d",i);
    return 0;
}
运行结果:
6

升级版的next

注意:KMP 算法的关键在于 next 数组的确定,其实对于上边的KMP算法中的next数组,不是最精简的,还可以简化。

例如:
模式串T:a b c a c
    next  :0 1 1 1 2
在模式串“abcac”中,有两个字符 ‘a’,我们假设第一个为 a1,第二个为 a2。在程序匹配过程中,如果 j 指针指向 a2 时匹配失败,那么此时,主串中的 i 指针不动,j 指针指向 a1 ,很明显,由于 a1==a2,而 a2!=S[i],所以 a1 也肯定不等于 S[i]。

为了避免不必要的判断,需要对 next 数组进行精简,对于“abcac”这个模式串来说,由于 T[4] == T[next[4]] ,所以,可以将next数组改为:
模式串T:a b c a c
    next  :0 1 1 0 2
这样简化,如果匹配过程中由于 a2 匹配失败,那么也不用再判断 a1 是否匹配,因为肯定不可能,所以直接绕过 a1,进行下一步。

实现代码:
void Next(char*T,int *next){
    int i=1;
    next[1]=0;
    int j=0;
    while (i<strlen(T)) {
        if (j==0||T[i-1]==T[j-1]) {
            i++;
            j++;
            if (T[i-1]!=T[j-1]) {
               next[i]=j;
            }
            else{
                next[i]=next[j];
            }
        }else{
            j=next[j];
        }
    }
}
使用精简过后的 next 数组在解决例如模式串为“aaaaaaab”这类的问题上,会减少很多不必要的判断次数,提高了KMP算法的效率。

例如:精简前为 next1,精简后为 next2:
模式串:a a a a a a a b
  next1:0 1 2 3 4 5 6 7
  next2:0 0 0 0 0 0 0 7

总结

KMP 算法,之所以比 BF 算法快的根本原因在于:KMP 算法其实也和 BF 算法一样,都是从主串开头开始匹配,但是在匹配过程中,KMP算法记录了一些必要的信息。根据这些信息,在后续的匹配过程中,跳过了一些无意义的匹配过程。